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La sezione aurea
phi, fibonacci e fitocose

“Scorgo un certo ordine nell'universo
e la matematica è un  modo di renderlo visibile”   May Sarton, (1912- 1995)


                                                                              

LA SEZIONE AUREA

Introduzione
La matematica  non è fatta solo di formule noiose e sistemi di calcolo , ma anche di simpatiche e divertenti applicazioni in cui si possono trovare tante situazioni curiose e paradassali come giochini, trucchetti, coincidenze , numeri particolari ecc.
Un esempio che vale per tutti è  un gruppo ristretto di numeri interminabili che si prolungano all’infinito e  che non trovando un divisore comune per questa loro particolarità,  sono chiamati  numeri “irrazionali”.
Il più noto di questi numeri è  π (pigreco) pari al rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio il cui valore  è 3,14159… Pur essendo stato definito in un contesto geometrico,  molti  non sanno che questo numero compare anche in modo inatteso in alcuni calcoli matematici della probabilità .
Un altro esempio  è la diagonale del quadrato in cui la lunghezza dei lati  uguale ad 1. Applicando il il teorema di Pitagora a ciascuno dei due triangoli in cui la diagonale divide il quadrato , il  quadrato dell’ipotenusa è uguale a 2  da cui si  ricava  √2=1,41421356….
Anche questo numero è definito irrazionale e  non può essere espresso sotto forma di rapporto tra nessun numero intero .
Meno noti del π e della √2   è  Φ (phi)  =1,6180339887… un numero per molti versi misterioso ma molto famoso fin dai tempi degli antichi greci.
Cosa hanno in comune, la mirabile disposizione dei petali di una rosa , l’armoniosa spirale della via lattea , la diagonale e il lato di un pentagono o l’Uomo Vitruviano” di Leonardo da Vinci?
 Per quanto possa sembrare strano, queste realtà così disparate condividono tra loro il numero Φ in una proporzione geometrica nota fin dall’antichità con una serie di definizioni che alludono all’oro , simbolo di ciò che è nobile , inalterato e prezioso e che prendono il nome di “numero aureo”, “rapporto aureo” o “sezione aurea”

Conoscere  Φ (phi)
Quando si usa il termine “proporzione” si identifica solitamente un rapporto tra oggetti o numeri secondo la loro grandezza o quantità che appaia caratterizzato da una particolare armonia . In matematica una proporzione si intende di solito una uguaglianza del tipo: 9 sta a 3 come 6 sta a 2 Immaginiamo ora di dividere il  segmento di lunghezza AC, qui sotto,  secondo una proporzione  in modo tale che l’intero segmento sta alla parte maggiore così come la parte maggiore sta alla minore.

                                                    

In altre parole se osserviamo la figura  il tratto  AB è più lungo del tratto BC, e che , allo stesso tempo , il tratto  AC è più lungo di AB. Se il rapporto tra AB e AC è uguale a quello tra AC e CB , si può dire che il tratto è stato diviso secondo la “proporzione estrema e media “ ovvero secondo il suo “rapporto aureo”
In sintesi la proporzione è così espressa:    AC:AB=AB: BC
Per avere l'idea della proporzione se consideriamo la misura del segmento AC pari ad 1,
 possiamo calcolare la misura dei due tratti AB e BC:
AB + BC= 1        e       AC= AB2 /BC   
Quindi:  BC=1-AB         e       1== AB2  /(1-AB)  e  1-AB= AB2
che si risolve come equazione di secondo grado:   
AB2 + AB -1= 0        AB= [-1 ±RADQ (1+4 )]/2
e si ottiene: AB= (-1 + RADQ 5 )/ 2 = (-1 + 2,236068) /2 = 0,618034...   
e  BC= 1-0,618034= 0,381966...che corrisponde ad un rapporto uguale a:
0,618034/0,381966= 1,6180339887..

Questo numero, essendo irrazionale, non  può essere espresso per mezzo di una frazione ed è impossibile trovare due numeri interi il cui rapporto corrisponda esattamente al rapporto delle lunghezze di AB e BC. Dal punto di vista geometrico , trovare due numeri del genere significherebbe trovare un segmento che sia contenuto esattamente un certo numero di volte sia in AB che in  BC . Ma per quanto cercassimo di trovarlo non riusciremmo mai nell’intento.
Il rapporto aureo era conosciuto fin dall’antichità ed è certo che lo conoscessero Pitagora ed i suoi discepoli che lo chiamavano “Proporzione Divina” . Fu  introdotto  e utilizzato già nell’antica grecia per costruire forme “perfette” in scultura in architettura , in pittura. In geometria i pitagorici trovarono la sezione aurea nel  loro simbolo: il pentacolo , la stella a cinque punte inscritta in un pentagono regolare.  
 

                                              
                                                        Il pentacolo

Il rapporto tra una diagonale  AB e un lato BC del pentagono regolare è rappresentato proprio dalla proporzione divina:  AB/BC=1,6180339887..  .
Per indicare il rapporto aureo è stata  scelta la lettera greca Φ (phi) dall’iniziale del nome del grande scultore Fidia , vissuto tra il 490 e il 430 a.C.  I suoi capolavori  come l’Athena Parthenos di Atene , lo Zeus del tempio di Olimpia e tanti altri , sono considerati un valido esempio di applicazione  del “rapporto aureo”
In tempi più recenti troviamo poi la sezione aurea nel famoso “Uomo Vitruviano” di Leonardo da Vinci e nella Venere del Botticelli.

Phi e Fibonacci
C'è un metodo per ottenere dei numeri che, se rapportati tra loro ,danno come risultato un numero che si avvicina sempre più al numero Φ (phi)  man mano che i numeri diventano grandi.  Questi numeri sono quelli appartengono alla serie di Fibonacci 
Leonardo da Pisa detto Fibonacci (filius Bonacci) era figlio dell’addetto alla dogana di Bogia, in Algeria, ove i Pisani intrattenevano fiorenti traffici commerciali. Egli visse tra il 1170 ed il 1250.
In quella città ebbe frequenti contatti con i matematici musulmani e lì completò le sue conoscenze matematiche. Molti furono i suoi contributi al progresso di questa scienza, ma il suo nome è essenzialmente legato alla famosa successione di numeri che porta il suo nome che  vengono chiamati appunto “Numeri di Fibonacci”:
1  1  2  3  5  8  13  21  34  55  89  144  233  377  610  987  1597  2584  4181  6765 …….
La successione si compone di una serie di numeri nella quale ognuno di essi è la somma dei due numeri precedenti
1+1=2
1+2=3
2+3=5
3+5=8
5+8=13
8+13=21
21+13=34
Una proprietà notevolissima di questi numeri è che il rapporto tra un numero di Fibonacci e quello immediatamente precedente si avvicina sempre di più al numero Φ = 1.61803398874989….., con crescente precisione all’aumentare della numerazione.
I rapporti  1/1;  2/1; 3/2;  5/3;  8/5;  13/8;  21/13;  34/21;  55/34,  89/55;  144/89 ecc. i cui valori decimali approssimati sono: 1; 2; 1,5; 1, 666;  1,6;  1,625;  1,615;  1, 619;  1, 617; 
1, 6181;  1, 6180 ecc.  sono un esempio di Φ sempre più precisi.
I numeri di Fibonacci rappresentano la  prima progressione logica della matematica  che presenta alcune proprietà , la più importante delle quali è che se un qualsiasi numero della serie è elevato al quadrato, questo è uguale al prodotto tra il numero che lo precede e quello che lo segue, aumentato o diminuito di una unità che permettono di costruire alcuni trucchi sconcertanti.
Esempio:   21 2 =(13*34)-1= 441    e   89 2 =(55*144)+1= 7921

La  sezione aurea in natura
Anche la natura sembra prediligere i numeri di Fibonacci:
Nelle piante per  esempio la serie di Fibonacci è ravvisabile nella ramificazione sia dei rami che delle foglie. Nel  biancospino il numero di rami  presenti ad ogni fase della crescita della pianta e il numero delle foglie che la pianta stessa fa germogliare,  sono in successione con i numeri di Fibonacci . Anche i fiori presentano la stessa successione come ottimizzazione del numero di petali posseduti.  Nella rosa,che è considerata il simbolo  dell’amore  e della fragilità della bellezza, l’armonia che ispira il carattere  quantitativo-geometrico del suo fiore  è  la disposizione  dei petali che si inseriscono sulla corolla  secondo una regola precisa , una regola basata sul rapporto aureo.
Esistono infatti pochissime specie di fiori che non hanno un numero di petali pari ad un numero della successione di Fibonacci.
Nel girasole come nelle margherite  al centro della corolla si possono notare semini disposti secondo due ordini di spirali: le spirali che si avvolgono in senso antiorario sono 21 e quelle in senso orario sono 34 , due numeri della serie di Fibonacci.
Non potevano mancare i numeri di Fibonacci nella frutta: sezionando trasversalmente una noce, una banana, una mela, una pera ecc. si ottengono: noce: 2 parti,  banana: 3 parti, mela: 5 parti, un caco-mela 8 parti …
Osservando la buccia dell’ananas si possono notare che le placche esagonali formano tre diverse tipologie di spirali che, con diverse inclinazioni, dalla base risalgono il frutto. Analogamente anche una pigna è costituita da scaglie disposte lungo due insiemi di spirali di 8 e 13 involuzioni
Molte piante mostrano i numeri di Fibonacci anche nella disposizione occupata  dalle foglie intorno allo stelo. Osservando una pianta dall’alto ci si accorge, infatti, che le foglie non sono disposte casualmente ma secondo una sorta di spirale: ogni foglia tende ad occupare una posizione tale da non nascondere le “compagne” sottostanti. Grazie a questo ordine ogni foglia può ricevere la quantità di luce sufficiente per compiere il proprio ciclo vitale regolarmente e l’acqua della pioggia può raggiungere rapidamente, attraverso lo stelo, le radici. Quando la pianta è provvista di molte foglie capita inevitabilmente che ci siano foglie disposte sopra ad altre. Il fatto curioso è che la spirare della disposizione delle foglie lungo uno stelo compie sempre un numero di giri intorno allo stelo stesso prima che una foglia si sovrapponga ad un’altra pari ad un numero di Fibonacci (solitamente 5 o 8 ). E ancora: contando le foglie sistemate sullo stelo tra
due che si sovrappongono, se ne trovano sempre una quantità pari ad un numero di
Fibonacci. Circa il 90% delle piante presenta la disposizione delle foglie come descritto, e anche molte piante grasse tra le quali anche i cactus, hanno le spine disposte seguendo la legge dei numeri di Fibonacci anche se non sempre è palesemente riscontrabile
Negli animali  la forma della conchiglia a spirale  del cefalopode Nautilus , un mollusco
 che pompa gas nelle camere della sua conchiglia per regolare la spinta di galleggiamento, è  in rapporto aureo tra il diametro di una spira e quella successiva.
Nell’universo tutti i pianeti interni distano dal Sole nelle proporzioni della successione (Sole 1,Mercurio 1, Venere 2, Terra3, Marte 5); e quelli esterni distano ugualmente da Giove (Giove 1, Saturno 1 Urano2, Nettuno 3, Plutone 5); La successione di Fibonacci è intimamente legata alla spirale logaritmica, modello matematico che descrive una vastissima gamma di fenomeni a spirale come gli uragani e alcune forme di galassie .
Nella musica un vastissimo numero di artisti, affascinati dalla successione di Fibonacci e dal suo riscontro nella creazione, sono stati ispirati nel creare alcune delle proprie opere, durante l’arco di secoli. Compositori come Bach, Bartók, Debussy, Schubert, Satie, Beethoven, Mozart, ma anche molte Band contemporanee come i Mercury Rev, i Tools si sono ispirati a questi numeri

La prova più evidente di come il rapporto aureo può influenzare in modo notevole il nostro occhio è data dal volto umano.  L'uomo ha acquisito nel corso del tempo un concetto di bellezza che si credeva fosse dovuto ad un puro istinto, ma se andiamo ad esaminare un volto che definiamo "bello" è facile scoprire come le distanze tra gli elementi che compongono il viso sono strettamente legati alla “proporzione aurea”.
Possiamo individuare numerosi rapporti aurei:
- tra l'altezza e larghezza del viso.
- la posizione della linea degli occhi rispetto al mento ad alla fronte.
- la posizione della bocca rispetto al mento ed agli occhi.
- l’altezza e larghezza del naso.
 -la lunghezza ed altezza del profilo della bocca.
 -la distanza degli occhi rispetto al centro di simmetria del viso.

 

Rapporto aureo ed estetica delle forme
Vi sembrerà strano ma il numero Φ(phi) è già entrato nelle vostre tasche senza che nessuno ve l’abbia detto . Quando effettuate un pagamento con la vostra carta di credito  o state obliterando un biglietto della metropolitana o facendo una telefonata con una scheda telefonica, non vi siete accorti che le carte rettangolari che hanno tutte le stesse dimensioni?
Le coppie di segmenti che lo generano producono insieme forme talmente armoniose e proporzionali da essere considerate forme preziose e quindi auree!
E il rettangolo di una carta di credito , di sconto , telefonica …si chiama proprio rettangolo aureo ed è stato scelto perché la sua forma è particolarmente gradevole!.

 

                  
                                                              
La relazione tra le due misure si esprime con un valore del rapporto tra la misura maggiore (a) e la minore (b): a/b=8,6/5,3=1,62 (arrotondato al centesimo)
Tale valore si avvicina molto al numero Φ=1,61803398874989484820458683436 .. arrotondato a centesimo.
 Il rapporto aureo quindi è un interessante amalgama dei due significati , quello quantitativo e quello estetico perché, pur essendo definito matematicamente , ha la capacità  rendere  piacevolmente armonioso qualsiasi oggetto che colpisca i nostri sensi  e gli esseri umani sembrano reagire con un senso di piacere alle forme che possiedono certe simmetrie  o che obbediscono a talune regole .


Phi, Fibonacci e Fitocose: la sezione aurea in cosmesi
 Dovete sapere che le creme o meglio le emulsioni sono forme cosmetiche fra le più utilizzate per veicolare sulla pelle principi attivi sia idro che liposolubili. Si tratta di sistemi bifasici ( costituiti da due fasi acqua e olio ) molto apprezzati non solo in cosmetologia , ma anche nell’industria alimentare ( maionese, gelati, creme ecc) . In cosmetologia le emulsioni si identificano con sigle del tipo O/A oppure A/O che stanno a significare quale delle due fasi ( idrofila o lipofila) prende il sopravvento sull’altra come fase estera o disperdente. Se stiamo parlando di una emulsione O/A vuol dire che la fase lipofila ( olio) è dispesa sotto forma di minute goccioline nella fase esterna idrofila( acqua)  e viceversa, quando troviamo scritto A/O  è l’acqua che si trova dispersa in micelle nella fase esterna oleosa. Se non troviamo alcun riferimento,  molto probabilmente ci accorgiamo della diversità tra le due forme quando le stendiamo con le dita sulla pelle . In linea generale l’emulsione O/A verrà avvertita dai nostri sensi per il tocco leggero, morbido  e scorrevole che impartisce alla pelle,  mentre se si tratta di una emulsione A/O avremo subito una sensazione di crema più corposa, meno scorrevole, più grassa al tatto .
Esistono anche le emulsioni multiple o miste le cui sigle identificative sono del tipo  O/AO oppure A/OA  che si formano preparando a parte una emulsione O/A e A/O e poi miscelandole in rapporti di peso opportuni.

La Crema aurea 
Ammettiamo di dividere le due fasi di una crema ,  fase acqua  e fase oleosa,  in modo tale che la somma in peso sia  uguale a 100 e il rapporto tra le fasi corrisponda al numero di Fibonacci.
Impostiamo il seguente calcolo: se AB=100  e il rapporto AB/AC  è uguale a Φ che sappiamo essere 1,618033..., allora per una emulsione O/A avremo :
100/AC=1,618033..  da cui 
AC  = 100/1,618033…=  61,80 arrotondato al centesimo (fase acquosa )  CB  = 100-61,8033 … .= 38,20 arrotondato al centesimo (fase oleosa ) 

   
         fase acqua                  fase olio
A------------------------C--------------------B
           61,80                        38,30

 

Viceversa per una emulsione A/O adotteremo lo stesso procedimento invertendo le due fasi

                                               

Se misceliamo tra di loro nel rispetto della “proporzine divina” le due emulsioni O/A e A/O, ottenute secondo il rapporto aureo tra le fasi ,  avremo ottenuto la crema aurea in versione O/AO se : 
                       

                                                                                           
                                                                                                             
   e in versione A/O/A se:                                                                            

              


Le due creme auree  O/A/O e A/O/A così realizzate rientrano nella categoria delle  emulsioni miste . I vantaggi che impartiscono alla pelle sono notevoli : aumento dell’elasticità e della idratazione , diminuzione della scabrosità della superficie epidermica , luminosità  e colorito sano della pelle ecc.ecc.
Nella realizzazione di queste creme abbiamo curato anche l’aspetto quali- quantitativo dei componenti dei singoli prodotti  : gli attivi  vegetali sono stati selezionati sia in funzione della loro attività cosmetica  che per la successione di Fibonacci  presente nelle caratteristiche del genere botanico a cui appartengono e che richiamano  la “sezione aurea”
Tutti i dati relativi alla realizzazione dei prodotti come le percentuali in peso dei singoli  ingredienti , i tempi di preparazione ,  di lavorazione ecc. sono stati scelti prendendo come riferimento la serie di Fibonacci  per  onorare  la perfezione estetica di bellezza che esiste nella proporzione aurea 

Conclusioni
La successione di Fibonacci non è solamente un modello matematico per risolvere “teorici” problemi di evoluzione ma è ravvisabile in tutto ciò che ci circonda.
Lo stretto collegamento con la propozione aurea  ha impressionato nei secoli la mente dell'uomo, che è arrivato a cogliervi col tempo un ideale estetico di armonia delle forme , spingendosi a ricercarla e a ricrearla  quale canone di bellezza; testimonianza ne è forse la storia del nome che  ha assunto proprio a dimostrazione del fascino esercitato.
Il rapporto aureo è  geometria e matematica  ma è anche un numero magico che ti porta a favoleggiare e sognare un mondo irreale fatto di gnomi  e di fate  .
Se la geometria non fosse stata inventata , forse la sezione aurea ci avrebbe fatto ugualmente visita sotto le spoglie di un programma di computer .
La prossima volta che ammirate  un campo di girasoli in maremma o che manderete delle rose  a una persona cara  o farete uso dei prodotti della “sezione aurea”  ricordatevi che dietro l’armonia e il piacere  che ne ricaverete , si celano  le misteriose proprietà numeriche di Φ.

Autore: Porto Pietro

Bibliografia:
Mario Livio:”La sezione aurea”  Bur Rizzoli maggio 2012

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